Question

已知椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其中a=b2，离心率e=

2

2

．
（I）求椭圆方程；
（II）若椭圆上动点P（x，y）到定点A（m，0）（m＞0）的距离|AP|的最小值为1，求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）根据题设及a，b，c间的平方关系列一方程组，解出即可；
（II）|AP|2=(x-m)2+2-

x2

2

=

1

2

(x-2m)2-m2+2，令f（x）=

1

2

(x-2m)2-m2+2，-2≤x≤2，由m＞0，分0＜2m≤2，2m＞2两种情况进行讨论求出f（x）_min，使其等于1，解出即得m的值．

解答：解（I）由题得

a=b2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，
解得：a=2，b=

2

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）由方程

x2

4

+

y2

2

=1知-2≤x≤2，y2=2-

x2

2

．
而|AP|=

(x-m)2+y2

，
∴|AP|2=(x-m)2+2-

x2

2

=

1

2

(x-2m)2-m2+2．
令f(x)=

1

2

(x-2m)2-m2+2，-2≤x≤2由题意得：f(x)min=1，又m＞0，
则①当0＜2m≤2，即0＜m≤1时，f(x)min=f(2m)=2-m2=1，解得m=1（m=-1舍去）；
②当2m＞2，即m＞1时，f(x)min=f(2)=(2-m)2=1，解得m=3（m=1舍去）；
综上，m=1或m=3．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想及函数与方程思想．