题目内容

已知函数 $数学公式$ ．（a，b∈R）
（ I）若f'（0）=f'（2）=1，求函数f（x）的解析式；
（ II）若b=a+2，且f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）因为f'（x）=x²-2ax+b，
由f'（0）=f'（2）=1即 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
所以f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）若b=a+2，则f'（x）=x²-2ax+a+2，△=4a²-4（a+2），
（1）当△≤0，即-1≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上单调递增，
所以，当-1≤a≤2时，f（x）在区间（0，1）上单调递增；
（2）当△＞0，即a＞2或a＜-1时，
因为f'（x）=x²-2ax+a+2的对称轴方程为x=a
要使函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
需 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
解得-2≤a＜-1或2＜a≤3．
综上：当a∈[-2，3]时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．
分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再根据f'（0）=f'（2）=1，就可求出a，b的值，代入函数解析式即可．
（ II）把b=a+2代入 $\text{[math]}$ ，使函数中只含参数a，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以区间（0，1）是函数增区间的一个子区间，而函数 $\text{[math]}$ 是二次函数，开口向上，所以在对称轴右侧为增函数，所以只要（0，1）位于函数对称轴右侧即可．
点评：本题考查了导数的求法，以及函数单调性的判断，做题时要细心．