题目内容
（2012•淮北二模）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（
）|对一切x∈R恒成立，则
①f（
）=0；
②|f（
）|＜|f（
）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是
| π |
| 6 |
①f（
| 11π |
| 12 |
②|f（
| 7π |
| 12 |
| π |
| 5 |
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是
①③⑤
①③⑤
（写出所有正确结论的编号）．分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（
） 是三角函数的最大值，得到x=
是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+
π，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=±
sin（2x+θ）
由f（x）≤f（
）可得f（
）为函数f（x）的最大值
∴2×
+θ=kπ+
π
∴θ=kπ+
π
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±
sin（2x+
π）
对于①f（
）=
sin（2×
+
π）=0；故①对
对于②，|f（
）|=
|sin（
+
π）|=
|f（
）|=
|sin（
+
）|=
|sin
|=
∴|f（
）|＞|f（
）|故②错
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞
，b2＞a2+b2这不可能，矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤正确
故答案为：①③⑤
| a2+b2 |
由f（x）≤f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴2×
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴θ=kπ+
| 1 |
| 6 |
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±
| a2+b2 |
| 1 |
| 6 |
对于①f（
| 11π |
| 12 |
| a2+b2 |
| 11π |
| 12 |
| 1 |
| 6 |
对于②，|f（
| 7π |
| 12 |
| a2+b2 |
| 7π |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| ||
| 2 |
|f（
| π |
| 5 |
| a2+b2 |
| 2π |
| 5 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴|f（
| 7π |
| 12 |
| π |
| 5 |
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞
| a2+b2 |
故答案为：①③⑤
点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．
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