题目内容
设m,n是给定的整数,,是一个正2n+1边形,.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.
见解析
先证一个引理:顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻.
事实上,设这个凸边形为,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设,
则,
更有.
而+,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸边形中,设顶点与为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.设与的劣弧上包含了的条边(),这样的在固定时恰有对.
(1)若凸边形的其余个顶点全在劣弧上,而劣弧上有个中的点,此时这个顶点的取法数为.
(2)若凸边形的其余个顶点全在优弧上,取,的对径点,,由于凸边形在顶点,处的内角为锐角,所以,其余的个顶点全在劣弧上,而劣弧上恰有个中的点,此时这个顶点的取法数为.
所以,满足题设的凸边形的个数为
.
事实上,设这个凸边形为,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设,
则,
更有.
而+,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸边形中,设顶点与为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.设与的劣弧上包含了的条边(),这样的在固定时恰有对.
(1)若凸边形的其余个顶点全在劣弧上,而劣弧上有个中的点,此时这个顶点的取法数为.
(2)若凸边形的其余个顶点全在优弧上,取,的对径点,,由于凸边形在顶点,处的内角为锐角,所以,其余的个顶点全在劣弧上,而劣弧上恰有个中的点,此时这个顶点的取法数为.
所以,满足题设的凸边形的个数为
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