题目内容
19．已知a、b、c都是正数，求证：$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥a+b+c．分析 运用不等式a2+b2≥2ab（当且仅当a=b取等号），借助累加法和不等式的传递性，即可得证．
解答 证明：由于a，b，c为互不相等的实数，
则a4+b4＞2a2b2，b4+c4＞2b2c2，c4+a4＞2c2a2，
相加可得，a4+b4+c4＞a2b2+b2c2+c2a2，①
又a2b2+b2c2＞2ab2c，b2c2+c2a2＞2bc2a，c2a2+a2b2＞2ca2b，
相加可得，a2b2+b2c2+c2a2＞ab2c+bc2a+ca2b=abc（a+b+c）．②
由①②可得，a4+b4+c4＞abc（a+b+c），
所以$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥a+b+c．
点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查累加法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．
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