Question

已知二次函数f（x）=x²-mx+m-1（m∈R）．
（1）函数在区间[-1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；
（2）求（1）中g（m）的最大值；
（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x²-mx+m-1=(x-

m

2

)2-

m2

4

+m-1，对称轴为x=

m

2

．
①若

m

2

＜-1，即m＜-2，此时函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（-1）=2m．
②若-1≤

m

2

≤1，即-2≤m≤2，此时当x=

m

2

时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（

m

2

）=-

m2

4

+m-1．
③若

m

2

＞1，即m＞2，此时函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．
综上g（m）=

2m，m＜-2 - m2 4 +m-1，-2≤m≤2 0，m≥2

．
（2）由（1）知g（m）=

2m，m＜-2 - m2 4 +m-1，-2≤m≤2 0，m≥2

．
当m＜-2时，g（m）=2m＜-4，
当-2≤m≤2，g（m）=-

m2

4

+m-1=-

1

4

(m2-4m)-1=-

1

4

(m-2)2-2≤-2
当m≥2时，g（m）=0．
综上g（m）的最大值为0．
（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，
∴

m 2 ≤2 f(2)≥0

或

m 2 ≥4 f(2)≤0

，
所以

m≤4 f(2)=3-m≥0

或

m≥8 f(2)=3-m≤0

，
解得m≤3或m≥8．