题目内容
【题目】如图,在锐角△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线与AC交于点E,过E作AB的平行线与CD交于点F。证明:
(1)C、E、0、F四点共圆;
(2)A、0、F三点共线;
(3)EA=EF。
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)如图,联结0C、0A、OF.因为AB=AC,0为△ABC的外心,所以,0A平分∠BAC,OA =0C.
则.
由OE⊥CD,CD平分∠ACB,知∠OEC=90°-∠ECD.
则.
又由EF//AD,CD平分∠ACB,知∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB=.
故∠CFE=∠EOC.
因此,C、E、0、F四点共圆.
(2)由0为△ABC的外心,知∠AOC=2∠B.
因为C、E、O、F四点共圆,所以,∠FOC=∠FEC=∠BAC.
故∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°.
因此,A、O、F三点共线.
(3)由C、E、0、F四点共圆知∠0FE=∠OCE=∠OAC.
从而,EA=EF.
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