Question

15．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（　　）

• A． 12
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 将sinA+cosA=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$两边平方，可解得sin2A=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0＜A＜π，可得：cosA=-$\frac{1}{2}$，由正弦定理化简3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，根据余弦定理可得49=b²+c²+bc②，由①②联立可解得b，c的值，从而得解．

解答 解：∵sinA+cosA=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴两边平方，可得：1+sin2A=$\frac{4-2\sqrt{3}}{4}$，解得：sin2A=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，
∴解得：A=$\frac{2π}{3}$或$\frac{5π}{6}$（由sinA+cosA=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$舍去），可得：cosA=-$\frac{1}{2}$，
∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，
∴由a=7，根据余弦定理可得：49=b²+c²-2bccosA，
∴49=b²+c²+bc②，
∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8．
故选：D．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．