Question

已知点P与两个定点O(0,0),A(-3,0)距离之比为.
(1)求点P的轨迹C方程；
(2)求过点M(2,3)且被轨迹C截得的线段长为2的直线方程．

Answer 1

（1）x²+y²-2x-3=0．（2）直线l的方程为3x+4y-8=0或x=1.

试题分析：解：(1)设点P(x,y),则依题得|MA|=2|MO|,
∴=2，
整理得x²+y²-2x-3=0,
∴轨迹C方程为x²+y²-2x-3=0．                  4分
(2)圆的方程可化为(x-1)²+y²=4,则：
圆心为(1,0),半径为2,
∵直线l过点P且被圆截得的线段长为2,
∴弦心距为d==1.
设直线l的方程为y=k(x-2)+3即k(x-2)-y+3=0,
∴=1,解得k=.                   7分
∴此时直线的方程为y= (x-2)+3即4x-3y+1=0.
又当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=1.经检验,直线x=-4也符合题意．
∴直线l的方程为3x+4y-8=0或x=1.                   9分
点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于中档题。