Question

定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d-c，其中d＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式

1

x-a

+

1

x-b

≥1的x构成的区间的长度之和为

 

．

Answer 1

分析：不等式即 

x2-(2+a+b)x+ab+a+b

(x-a)(x-b)

≤ 0，设 x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为 x₁和x₂，则由求根公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和．

解答：解：∵

1

x-a

+

1

x-b

≥1，实数a＞b，∴

2x-(a+b)

(x-a)(x-b)

≥1，即 

x2-(2+a+b)x+ab+a+b

(x-a)(x-b)

≤ 0，
设x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0的根为 x₁和x₂，则由求根公式可得，
x₁=

(a+b+2) - (a-b)2+2

2

，x₂=

(a+b+2) + (a-b)2+2

2

，把不等式的根排在数轴上，
穿根得不等式的解集为（b，x₁）∪（a，x₂ ），故解集构成的区间的长度之和为 （x₁-b）+（x₂-a ）
=（x₁+x₂ ）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，
故选 D．

点评：本题考查其他不等式的解法，解题的关键是掌握用穿根法解分式不等式和高次不等式的技巧，本题中令分子为0，得出x₁和x₂与系数的关键对解本题尤其关键．本题考查数形结合的思想，是不等式求解中难度较大的题型