Question

【题目】已知四棱柱的所有棱长都为2，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）要证平面平面，转化为证明平面，通过证明及可得；

（2）连接，由（1）可得为直线与平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求线面角.

（1）证明：设与的交点为，连接，

因为，，，

所以，

所以，

又因为是的中点，所以，

另由且，

所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）（法一）连接，由（1）知平面，

所以为直线与平面所成的角，

在菱形中，，

故，

所以

又因为，所以，

所以.

（法二）过作直线平面，分别以、、为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

依题意，得，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

所以，令，则，即，

所以，

即直线与平面所成的角的正弦值为.