题目内容

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（a）=0．研究并利用函数f（x）=x3-3x2-sin（πx）的对称中心，可得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=
-8046
-8046
．
分析：函数（x）=x3-3x2-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4，再利用倒序相加，即可得到结论．
解答：解：∵f''（x）=6x-6+π2sinπx
又∵f''（1）=0
而f（x）+f（2-x）=x3-3x2-sinπx+（2-x）3-3（2-x）2-sin（2π-πx）
=-4
函数（x）=x3-3x2-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），
即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)+f（
4023
2012
）+f（
4022
2012
 ）+…+f（
1
2012
 ）=-4×4023
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=8046
故答案为：-8046
点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
13
)=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．
设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(
-an
2an+1
)
（n∈N*）
（Ⅰ）求证：y=f（x）是R上的减函数；          
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若不等式
k
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
-
1
2n+1
≤0对一切n∈N*均成立，求k的最大值．
设函数y=f（x）的定义域为R+，若对于给定的正数k，定义函数：fk(x)=
k，f(x)≤k
f(x)，f(x)＞k
，则当函数f(x)=
1
x
，k=1时，函数fk（x）的图象与直线x=
1
4
，x=2，y=0围成的图形的面积为（　　）
（2007•闵行区一模）（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），且函数y=f（x）过点P（2，-1），则f-1（-1）=
2
2
．
（2008•南汇区二模）设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求证：y=f（x）为奇函数；
（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

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