题目内容
设函数
.
(I)证明:0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件;
(II)若x∈(﹣∞,0)时,满足f(x)<2a2﹣6恒成立,求实数a的取值范围.

(I)证明:0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件;
(II)若x∈(﹣∞,0)时,满足f(x)<2a2﹣6恒成立,求实数a的取值范围.
解:(I)对函数)
求导,得
,
先证充分性:若0<a<1,∵1<x<2,∴x﹣a>0,x+a>0,
∴f'(x)>0
∴函数f(x)在区间(1,2)上递增.
再说明非必要性:∵f(x)在区间(1,2)上递增,
∴f'(x)≥0对1<x<2恒成立
即
对1<x<2恒成立,x2﹣a2≥0对1<x<2恒成立,
即a2≤x2对1<x<2恒成立,
∵1<x<2,
∴1<x2<4,
∴a2≤1,即﹣1≤a≤1.即推不出0<a<1.
∴0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件
(II)由(I)知
,
令f'(x)=0,得x1=a,x2=﹣a
①当a=0时,f(x)=x,x∈(﹣∞,0)时,f(x)<﹣6不能恒成立,不符合题意.
②当a>0时,函数y=f(x)在(﹣∞,﹣a)上递增,在(﹣a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(﹣∞,0)上的极大值为f(﹣a)
若x∈(﹣∞,0)时,f(x)<2a2﹣6恒成立,
则需f(x)极大值=f(﹣a)<2a2﹣6即﹣4a<2a2﹣6,解得a>1.
③当a<0时,函数y=f(x)在(﹣∞,a)上递增,在(a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(﹣∞,0)上的极大值为f(a)
此时x∈(﹣∞,0),若满足f(x)<2a2﹣6恒成立,
则需f(x)极大值=f(a)=0<2a2﹣6
解得
故若x∈(﹣∞,0)时,满足f(x)<2a2﹣6恒成立,
实数


先证充分性:若0<a<1,∵1<x<2,∴x﹣a>0,x+a>0,
∴f'(x)>0
∴函数f(x)在区间(1,2)上递增.
再说明非必要性:∵f(x)在区间(1,2)上递增,
∴f'(x)≥0对1<x<2恒成立
即

即a2≤x2对1<x<2恒成立,
∵1<x<2,
∴1<x2<4,
∴a2≤1,即﹣1≤a≤1.即推不出0<a<1.
∴0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件
(II)由(I)知

令f'(x)=0,得x1=a,x2=﹣a
①当a=0时,f(x)=x,x∈(﹣∞,0)时,f(x)<﹣6不能恒成立,不符合题意.
②当a>0时,函数y=f(x)在(﹣∞,﹣a)上递增,在(﹣a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(﹣∞,0)上的极大值为f(﹣a)
若x∈(﹣∞,0)时,f(x)<2a2﹣6恒成立,
则需f(x)极大值=f(﹣a)<2a2﹣6即﹣4a<2a2﹣6,解得a>1.
③当a<0时,函数y=f(x)在(﹣∞,a)上递增,在(a,0)上递减,
∴函数y=f(x)在(﹣∞,0)上的极大值为f(a)
此时x∈(﹣∞,0),若满足f(x)<2a2﹣6恒成立,
则需f(x)极大值=f(a)=0<2a2﹣6
解得

故若x∈(﹣∞,0)时,满足f(x)<2a2﹣6恒成立,
实数


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