Question

（2012•浙江模拟）平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量；与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点的轨迹方程的方法，可以求出过点A（2，1）且法向量为

n

=(-1，2)的直线（点法式）方程为-（x-2）+2（y-1）=0，化简后得x-2y=0．类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A（2，1，3），且法向量为

n

=(-1，2，1)的平面（点法式）方程为

x-2y-z+3=0

（请写出化简后的结果）．

Answer 1

分析：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则

AP

=（x-2，y-1，z-3），再由平面法向量为

n

=(-1，2，1)，可得-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，
化简可得结果．

解答：解：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则

AP

=（x-2，y-1，z-3），
∵平面法向量为

n

=(-1，2，1)，
∴-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，化简可得 x-2y-z+3=0，
故答案为 x-2y-z+3=0．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解．