题目内容
【题目】设函数f（x）=ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[﹣ 
， 
]的最大值和最小值．
【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（﹣ 
，+∞）
f′（x）= 
+2x= 
当﹣ ＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x＜﹣ 
时，f′（x）＜0；
当x＞﹣ 时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（﹣ ，﹣1），（﹣ ，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣ ）上单调递减
（2）解：f（x）的定义域为（﹣ ，+∞）
由（1）知f（x）在区间[﹣ 
， 
]的最小值为f（﹣ ）=ln2+
又f（﹣ ）﹣f（ ）=ln + 
﹣ln 
﹣ 
=ln 
+ = （1﹣ln 
）＜0
所以f（x）在区间[﹣ ， ]的最大值为f（ ）= +ln ．
【解析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知f（x）在区间[﹣ ， ]的最小值为f（﹣ ）求出得到函数的最小值，又因为f（﹣ ）﹣f（ ）＜0，得到f（x）在区间[﹣ ， ]的最大值为f（ ）求出得到函数的最大值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．
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