题目内容
(本题10分)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点,将△ACD沿折起,使平面ACD⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.
【答案】
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)cos∠MNO==。
【解析】(I) 取AC的中点O,连接DO,则DO⊥AC,因为平面ACD⊥平面ABC,所以DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC,可得易证:,从而可证出BC⊥平面ACD;
(II)找(或做)出二面角的平面角.取CD的中点N,连接MO, NO, MN,则MO∥BC,
∴MO⊥平面ACD,∴MO⊥CD,∵AD⊥CD,ON∥AD,∴ON⊥CD,又∵MO∩NO=O,
∴CD⊥平面MON,∴CD⊥MN,∴∠MNO是所求二面角的平面角.
解:(Ⅰ)取AC的中点O,连接DO,则DO⊥AC,
∵平面ADC⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC,………2分
在直角梯形ABCD中,连接CM,可得CM=AD=2,AC=BC=2,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又∵DO∩AC=O,∴BC⊥平面ACD;………………………………3分
(Ⅱ)取CD的中点N,连接MO, NO, MN,
则MO∥BC,∴MO⊥平面ACD,∴MO⊥CD,……………………1分
∵AD⊥CD,ON∥AD,∴ON⊥CD,又∵MO∩NO=O,
∴CD⊥平面MON,∴CD⊥MN,∴∠MNO是所求二面角的平面角…2分
在Rt△MON中,MO==,NO==1,
∴MN==,∴cos∠MNO==………………2分
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