题目内容

(本题10分)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点,将△ACD沿折起,使平面ACD⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.

(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;

(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.

 

【答案】

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)cos∠MNO=

【解析】(I) 取AC的中点O,连接DO,则DO⊥AC,因为平面ACD⊥平面ABC,所以DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC,可得易证:,从而可证出BC⊥平面ACD;

(II)找(或做)出二面角的平面角.取CD的中点N,连接MO, NO, MN,则MO∥BC,

∴MO⊥平面ACD,∴MO⊥CD,∵AD⊥CD,ON∥AD,∴ON⊥CD,又∵MO∩NO=O,

∴CD⊥平面MON,∴CD⊥MN,∴∠MNO是所求二面角的平面角.

解:(Ⅰ)取AC的中点O,连接DO,则DO⊥AC,

   ∵平面ADC⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC,………2分

   在直角梯形ABCD中,连接CM,可得CM=AD=2,AC=BC=2

   ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,

   又∵DO∩AC=O,∴BC⊥平面ACD;………………………………3分

(Ⅱ)取CD的中点N,连接MO, NO, MN,

则MO∥BC,∴MO⊥平面ACD,∴MO⊥CD,……………………1分

∵AD⊥CD,ON∥AD,∴ON⊥CD,又∵MO∩NO=O,

∴CD⊥平面MON,∴CD⊥MN,∴∠MNO是所求二面角的平面角…2分

在Rt△MON中,MO=,NO==1,

∴MN=,∴cos∠MNO=………………2分

 

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网