Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，其中a＞1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0在区间[-1，1]上有两个不相等实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求f′（x）的导数，由于a＞1，而a^x在R上单调递增，分x＞0和x＜0讨论f'（x）是否大于0可得f（x）的单调区间；
（II）由题意可得函数g（x）=f（x）-m在区间[-1，1]上有两个不同的零点，用导数研究g（x）的单调性，并由根的存在性定理求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x+x²-xlna，其中a＞1；
∴f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
当x＞0时，lna＞0，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，lna＞0，a^x-1＜0，∴f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）方程f（x）-m=0在区间[-1，1]上有两个不相等实数根，即函数g（x）=f（x）-m在区间[-1，1]上有两个不相等的零点；
当a＞1时，由（Ⅰ）知，f（x）在x=0处取得最小值f（0）=1，∴g（x）在x=0处取得最小值1-m；
又x＞0时，f（x）是增函数，∴g（x）是增函数；x＜0时，f（x）是减函数，∴g（x）是减函数；
∴g（x）在区间[-1，0]和[0，1]各有一个实根，即

g(0)＜0 g(-1)＞0

，且

g(0)＜0 g(1)＞0

；
∴

1-m＜0 a-1+1+lna-m＞0

，且

1-m＜0 a1+1-lna-m＞0

；
解得1＜m＜

1

a

+1+lna，且1＜m＜a+1-lna；
设h（a）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna）=a-

1

a

-2lna（a＞1），
则h′（a）=1+

1

a2

-

2

a

=(

1

a

-1)2＞0，∴h′（a）在（1，+∞）上是增函数；
∴h（a）＞h（1）=0，即a+1-lna＞

1

a

+1+lna；
∴1＜m＜

1

a

+1+lna；
∴m的取值范围是：{m|1＜m＜

1

a

+1+lna}．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调区间的方法，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，是较难的题．