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【题目】已知点M是圆C:(x+12+y28上的动点,定点D10),点P在直线DM上,点N在直线CM上,且满足20,动点N的轨迹为曲线E

1)求曲线E的方程;

2)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求AOB面积S的最大值.

【答案】1.(2

【解析】

1)由已知得NPDM的垂直平分线,|ND||NM|,由此能求了轨迹E的方程.

2)法一:设直线AB的方程为ykx+m,由,得(1+2k2x2+4kmx+2m220.由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值.

2)法二:设直线AB的方程为ykx+m,由,得(1+2k2x2+4kmx+2m220.由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值.

1)解:因为

所以NPDM的垂直平分线,

所以|ND||NM|,又因为

所以

所以动点N的轨迹是以点C(﹣10),D10)为焦点的长轴为的椭圆.

所以轨迹E的方程为

2)解法一:因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点AOB能构成三角形,

则弦AB不能与x轴垂直,故可设直线AB的方程为ykx+m

,消去y,并整理,得(1+2k2x2+4kmx+2m220

Ax1y1),Bx2y2),又△=16k2m241+2k2)(2m22)>0

所以

因为|AB|2,所以,即

所以,即

因为1+k2≥1,所以

又点O到直线AB的距离

因为h

所以S2h22m21m2

所以,即S的最大值为

2)解法二:因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点AOB能构成三角形,

则弦AB不能与x垂直,故可设直线AB的方程为ykx+m

,消去y,并整理,得(1+2k2x2+4kmx+2m220

Ax1y1),Bx2y2),又△=16k2m241+2k2)(2m22)>0

所以

因为|AB|2,所以

因为

所以

所以

又点O到直线AB的距离,所以h

所以S2h2

,则

所以,即S的最大值为

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