Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间？
（3）求函数f（x）在闭区间[-2，+2]上的最大值与最小值？

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈(-∞，-

1

3

)∪(1，+∞)
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈(-

1

3

，1)
∴函数f（x）的单调增区间为：(-∞，-

1

3

)， (1，+∞)，减区间为：(-

1

3

，1)
（3）由（2）可得函数f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函数，在[-

1

3

，1）上是减函数，在[1，2]上是增函数
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函数f（x）在闭区间[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值为f（-2）=-10