Question

【题目】如图，在三棱锥中，为棱上的任意一点，分别为所在棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若平面，，，，当二面角的平面角为时，求棱的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】分析：（1）要证BD//平面FGH，可先证平面ABP//平面FGH，而这由中位线定理易得线线平行，从而有线面平行，再得面面平行；

（2）可以C为原点，CB为x轴，CP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求得两平面CGF和平面HGF的法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得，从而得PC的长.

详解：（1）证明：因为分别为的中点，

所以，且平面，

平面，所以平面.

又因为分别为的中点，所以有，平面，

且平面，所以平面.

又因为，所以平面平面.

因为平面，所以平面.

（2）解：在平面内过点作，如图所示，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

由为等腰直角三角形知，又，，所以有平面.

设，则，，

所以为平面的一个法向量.

又，，所以，，

设为平面的一个法向量，则有，

即有，所以可取.

由，得，从而.

所以棱的长为2.