题目内容
【题目】已知函数f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然对数的底数,e≈2.718…).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,并且函数h(x)的极大值小于整数b,求b的最小值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)4
【解析】
(1)对求导,通过
的正负,列表分析
的单调性进而求得极值.
(2)先求得的解析式,对其求导,原题转化为导函数
在
上恒成立,令
,求得a的范围.(3)由题意知
在
上有两个不等实根,即
在
上有两个不等实根,对
求导分析可得
在
和
上各有一个实根,从而得到极大值
,将
视为关于
的函数,求导得到
,又因为
,得到整数b的最小值.
(1),
,令
,解得
,列表:
2 | |||
+ | 0 | - | |
极大值 |
∴当时,函数
取得极大值
,无极小值
(2)由,得
∵,令
,
∴函数在区间
上单调递增等价于对任意的
,函数
恒成立
∴,解得
.
(3),
令,
∵在
上既存在极大值又存在极小值,∴
在
上有两个不等实根,
即在
上有两个不等实根
.
∵
∴当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减
则,∴
,解得
,∴
∵在
上连续且
,
∴在
和
上各有一个实根
∴函数在
上既存在极大值又存在极小值时,有
,并且在区间
上存在极小值
,在区间
上存在极大值
.
∴,且
,
令,
,当
时,
,
单调递减
∵,∴
,即
,则
∵的极大值小于整数
,∴满足题意的整数
的最小值为4.
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【题目】2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:
年龄段 | ||||
人数(单位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
约定:此单位45岁~59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?
(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表,并回答能否有
的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?
热衷关心民生大事 | 不热衷关心民生大事 | 总计 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
总计 | 30 |
(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
.
【题目】心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答,统计情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男 同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为,求
的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |