Question

已知关于x的方程x²+2ax+b=0，其中，a∈[-

2

，

2

]，b∈[0，2]．
（1）求方程有实根的概率；
（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有实根的概率．

Answer 1

分析：根据题意，由一元二次方程的性质，可得x²+2ax+b=0有实根的充要条件为b≤a²，
（1）由题意分析可得，这是几何概型，将Ω={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2}表示为平面区域，进而可得其中满足b≤a²的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案．
（2）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{-1，0，1}，{0，1，2}中任取的数字，易得一共可以得到9个不同方程；可得满足b≤a²的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案．

解答：解：方程x²+2ax+b=0有实根?△≥0?4a²-4b≥0?b≤a²，
（1）点（a，b）所构成的区域为Ω={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2}，
面积S_Ω=2

2

×2=4

2

；
设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为A={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2，b≤a2}，
其面积SA=

∫

2 - 2

a2da=

1

3

a3

|

2 - 2

=

2 2

3

-

-2 2

3

=

4 2

3

，
这是一个几何概型，所以P(A)=

SA

SΩ

=

1

3

（2）因为a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9个，分别是：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（0，1），（1，1），（-1，2），（0，2），（1，2），
其中，满足△≥0即b≤a²的有5个：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（1，1）．
设“方程有实根”为事件B，这是一个古典概型，所以P(B)=

5

9

答：（1）所求概率为

1

3

；（2）所求概率为

5

9

．

点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．