Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，试求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意及函数解析式需用导函数来求其单调区间；
（II）由导函数的几何意义可以先求出a的值，此时函数f（x）就具体了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函数存在极值的充要条件建立m的不等式即可；
（III）由题意构建新函数F（x），这样问题转化为使函数F（x）在[1，e]上至少有一解的判断．

解答：解：（Ι）当a=1时，函数f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；导函数为f′(x)=

1

x

-1；
当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，当时x＞1时，函数f（x）单调递减；
故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(2+

m

2

)x²-2x，
∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2在区间（t，3）上存在零点，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0.

解得-

37

3

＜m＜-9．
所以当m∈(-

37

3

，-9)时，对于任意的t∈[1，2]函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值．
（Ⅲ）∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3-2lnx+2x+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx
①当p≤0时，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②当p＞0时，F'（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴F(x)max=F(e)=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．所以p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：（I）此题在这一问重点考查了函数上某点处的导函数值的几何意义是此函数在该点处与函数相切的切线的斜率，还考查了利用导函数求函数的单调区间的方法；
（II）在此重点考查了导数的集合意义及连续函数在闭区间有极值的充要条件；
（III）此处重点考查了等价转化的思想，把问题转化为构建一新函数，并考查了函数F（x）在定义域下恒成立问题．