Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点为F₁、F₂，长轴两端点为A₁、A₂．
（1）P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q，使∠A₁QA₂=120°，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解．
（2）由对称性不妨设Q在x轴上方，坐标为（x₀，y₀），进而可表示出tanA₁QA₂整理出关于x₀和y₀的关系式，同时把Q点代入椭圆方程，表示出y₀进而根据y₀的范围确定a和c的不等式关系，求得离心率的范围．

解答：解：（1）∵|F₁F₂|=2c．
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则根据椭圆的定义可得：t₁+t₂=2a①，
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以根据余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得t₁•t₂=

1

3

（4a²-4c²），
所以：S△F1PF2=

1

2

t1t2•sin60°=

1

2

×

4

3

(a 2-c 2)×  

3

2

=

3

3

(a 2-c 2)．
所以△F₁PF₂的面积

3

3

( a 2-c 2)．
（2）由对称性不防设Q在x轴上方，坐标为（x₀，y₀），
则tanA₁QA₂=

kQA1-kQA2

1+kQA1KQA2

=-

3

，即

y0 x0-a -  y0 x0+a

1+ y0 x0-a • y0 x0+a

=-

3

整理得

2ay0

x 2 0 -a2+y 20

=-

3

，①
∵Q在椭圆上，
∴

x

2 0

=a2(1-

y 2 0

b2

)，代入①得y₀=

2ab2

3 c2

，
∵0＜y₀≤b
∴0＜

2ab2

3 c2

≤b，化简整理得3e⁴+4e²-4≥0，
解得

6

3

≤e＜1．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，以及熟练掌握解三角形的有关知识，涉及了直线的斜率和基本不等式等知识，难度不大但计算较繁琐，考查了学生的运算能力．