题目内容
【题目】已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个极值点 , ,证明: .
【答案】
(1)解:函数 的定义域为 . .
,方程 的判别式 .
①当 时, ,∴ ,故函数 在 上递减;
②当 时, ,由 可得 , .
函数 的减区间为 ;增区间为 .
所以,当 时, 在 上递减;当 时, 在 上递增,在 上递减
(2)解:由 (1)知当 时,函数 有两个极值点 ,且 .
设 ,则 , ,
所以 在 上递增, ,
所以 .
【解析】(1)根据题目中所给的条件的特点,先求出函数的导数,通过分类讨论a的值,确定导函数的符号,利用导数研究函数的单调性,从而判断函数的单调性;
(2)表示出f(x1)+f(x2),通过利用导数求闭区间上函数的最值进行证明.导数和函数的单调性的关系:
(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
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