题目内容

已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若方程f(x)+m=0在[
1e
,e]
内有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底数);
(Ⅲ)令g(x)=f(x)-kx,若g(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(其中x1<x2),AB的中点为C(x0,0),求证:g(x)在x0处的导数g′(x0)≠0.
分析:(Ⅰ)只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数;
(Ⅱ)先要利用导数研究好函数h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m,的单调性,结合单调性及在[
1
e
,e]
内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答;
(Ⅲ)用反证法现将问题转化为有关方程根的形式,在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=
a
x
-2bx,f′(2)=
a
2
-4b
,f(2)=aln2-4b.
a
2
-4b=-3
,且aln2-4b=-6+2ln2+2.
解得a=2,b=1.
(Ⅱ)f(x)=2lnx-x2,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m,
h/(x)=
2
x
-2x=
2(1-x2)
x

令h′(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
[
1
e
, e]
内,
x∈[
1
e
,1)
时,h′(x)>0,
∴h(x)是增函数;
当x∈[1,e]时,h′(x)<0,
∴h(x)是减函数,
则方程h(x)=0在[
1
e
,e]
内有两个不等实根的充要条件是:
h(
1
e
)≤0
h(1)>0
h(e) ≤ 0.

即1<m≤2+
1
e2

(Ⅲ)g(x)=2lnx-x2-kx,g/(x)=
2
x
-2x-k

假设结论不成立,则有:
2lnx1-x12-kx1=0
2lnx2-x22-kx2=0
x1+x2=2x0
2
x0
-2x0-k=0

①-②,得2ln
x1
x2
-(x12-x22)-k(x1-x2)=0

k=2
ln
x1
x2
x1-x2
-2x0

由④得k=
2
x0
-2x0

ln
x1
x2
x1-x2
=
1
x0

ln
x1
x2
x1-x2
=
2
x1+x2
,即ln
x1
x2
=
2
x1
x2
-2
x1
x2
+1
.⑤
t=
x1
x2
u(t)=lnt-
2t-2
t+1
(0<t<1),
u′(t)=
(t-1)2
t(t+1)2
>0.
∴u(t)在0<t<1上增函数,
∴u(t)<u(1)=0,
∴⑤式不成立,与假设矛盾.
∴g'(x0)≠0.
点评:本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法.值得同学们体会反思.
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