Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上的点时，点(

x

3

，  

y

2

)是函数y=g（x） 图象上的点．
（1）写出函数y=g （x） 的表达式；
（2）当g（x）-f （x）≥0时，求x的取值范围；
（3）当x在 （2）所给范围内取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令

x

3

=X，

y

2

=Y，由题设条件知 Y=

1

2

log₂（3X+1），再由（X，Y）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．
（2）由题意知

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．由对数函数的性质可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解不等式组即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）由题设条件知 g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．由此可知结合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）令X=

x

3

，Y=

y

2

，
∴x=3X，y=2Y，
∵点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上，
∴2Y=log₂（3X+1），
即Y=

1

2

log₂（3X+1），
∴g （x）=

1

2

log₂（3x+1）（x＞-

1

3

）；
（2）由g（x）-f （x）≥0，得

1

2

log₂（3x+1）-log₂（x+1）≥0，
∴

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，
解得0≤x≤1；
∴x的取值范围为0≤x≤1；
（3）∵因为0≤x≤1，
所以 g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
当且仅当3x+1=2时，即 x=

1

3

时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为

1

2

log2

9

8

=log₂3-

3

2

．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，其中（1）中求解析式是坐标法中的“点随点动”问题，（2）中关键是根据对数函数的性质构造关于x的不等式组，（3）的关键是根据基本不等式，求出真数部分的最大值，进而根据对数函数的单调性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．