题目内容
18.求下列函数的单调区间(1)y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$;
(2)y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$;
(3)y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$.
分析 根据复合函数单调性之间的关系,利用换元法进行判断即可.
解答 解:(1)设t=x2-4x+5,则y=$\frac{1}{t}$为减函数,
由t=x2-4x+5=(x-2)2+1>0得函数的定义域为(-∞,+∞),
对称轴为x=2,当x≥2时,t=x2-4x+5单调递增,而y=$\frac{1}{t}$为减函数,此时函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$为减函数,即单调递减区间为[2,+∞),
当x≤2时,t=x2-4x+5单调递减,而y=$\frac{1}{t}$为减函数,此时函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$为增函数,即单调递增区间为(-∞,2].
(2)由t=x2-4x+5=(x+2)(x-3)≥0得x≥3或x≤-2,
当x≥3时,t=x2-x-6单调递增,而y=$\sqrt{t}$为增函数,此时函数y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$为增函数,即单调递增区间为[3,+∞),
当x≤-2时,t=x2-x-6单调递减,而y=$\sqrt{t}$为增函数,此时函数y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$为减函数,即单调递减区间为(-∞,-2].
(3)设t=-x2-2x+3,u=$\sqrt{t}$,y=$\frac{1}{u}$,
由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0得-3<x<1,即函数的定义域为(-3,1),t=-x2-2x+3的对称轴为x=-1,
当-3<x≤-1时,函数t=-x2-2x+3为增函数,则u=$\sqrt{t}$为增函数,y=$\frac{1}{u}$为减函数,此时y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$为减函数,即单调递减区间为(-3,-1].
当-1≤x<1时,函数t=-x2-2x+3为减函数,则u=$\sqrt{t}$为增函数,y=$\frac{1}{u}$为减函数,此时y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$为增函数,即单调递增区间为[-1,1).
点评 本题主要考查函数单调区间的求解,利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键.