Question

在△ABC中，A（1，1），B（4，5），C（-1，1），则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量为

(-

5

5

，

2 5

5

)

．

Answer 1

分析：作D点（1，5），则△ADB为直角三角形，∠DAB=arctan

5

4

，△CAD为直角三角形，∠CAD=

π

2

，由∠CAB=∠CAD+∠DAB，知 tan∠CAB=-

4

3

，设E在角平分线上，则∠CAE=

1

2

∠CAB，设tan∠CAE=k，则-

4

3

=

2k

1-k2

，由此能求出该单位向量．

解答：解：作D点（1，5），则 ①△ADB为直角三角形
∴∠DAB=arctan

5

4

，②△CAD为直角三角形
∴∠CAD=

π

2

，
∵∠CAB=∠CAD+∠DAB
∴∠CAB=

π

2

+arctan

3

4

∴tan∠CAB=-

4

3

，
设E在角平分线上，则∠CAE=

1

2

∠CAB，
设tan∠CAE=k，-

4

3

=

2k

1-k2

，
解之得 k=2 （另一解不合题意，舍去）
即，该角平分线的斜率为 tan（π-∠CAE）=-tan∠CAE=-2．
该向量与之共线且方向相同，
则设其为 （-a，2a），（其中a＞0）
又其为单位向量，
则（-a）²+（2a）²=1²
解之得 a=

1

5

=

5

5

，（负值解不合所设，舍去）
则该单位向量为（-

5

5

，

2 5

5

）．
故答案为：（-

5

5

，

2 5

5

）．

点评：本题考查单位向量的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．