Question

16．已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²-ax+2＜0恒成立；命题q：函数f（x）=x²-2ax+3a是区间（-∞，1]上的减函数，若命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题：在x∈[1，2]内，不等式x²-ax+2＜0恒成立，则$a＞（x+\frac{2}{x}）_{max}$，令g（x）=$x+\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出g（x）_max．若命题q是真命题：函数f（x）=x²-2ax+3a是区间（-∞，1]上的减函数，利用二次函数的单调性可得1≤a．若命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得：命题p与q必然一真一假．

解答 解：若命题p是真命题：在x∈[1，2]内，不等式x²-ax+2＜0恒成立，则$a＞（x+\frac{2}{x}）_{max}$，令g（x）=$x+\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，g′（x）=$1-\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，当x∈$[1，\sqrt{2}）$时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈$（\sqrt{2}，2]$时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．而g（1）=3，g（2）=3，∴g（x）_max=3，∴a＞3．
若命题q是真命题：函数f（x）=x²-2ax+3a是区间（-∞，1]上的减函数，则1≤a．
若命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，
∴命题p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解得a∈∅或1≤a≤3．
∴实数a的取值范围是[1，3]．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究其单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．