题目内容
【题目】已知函数,
且
.
(1)若函数在
上恒有意义,求
的取值范围;
(2)是否存在实数,使函数
在区间
上为增函数,且最大值为
?若存在求出
的值,若不存在请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据在
上恒有意义,则
在
上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得
的取值范围.
(2)讨论与
两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为
,代入
的值,解方程即可求解.
(1)函数在
上恒有意义
即在
上恒成立
令
对称轴为,开口向上
当时,只需
,即
,解得
,所以
当时,只需
,即
,解得
,所以
当时, 只需
,即
,解得
,所以
综上可知, 的取值范围为
(2)函数对称轴为
由复合函数单调性的性质可知:
当时
为单调递减函数,
在
上为单调递增函数,所以
在
上单调递减,不合题意
当时,
为单调递增函数, 若
在
上单调递增,则
在
上为单调递增函数.
所以由对称轴在左侧可得
因为最大值为2,则
即
即,化简可得
解得或
因为
所以
当函数
在区间
上为增函数,且最大值为
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练习册系列答案
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【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得:
,
,
线性回归模型的残差平方和
,
,
其中分别为观测数据中的温度和产卵数,
(1)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程(精确到0.1);
(2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为,且相关指数
.
①试与1中的回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数(结果取整数)
附:一组数据其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计为
,
;相关指数
.