Question

7．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=$\sqrt{3}$，BC=4，AA₁=3，M为棱AA₁的中点，且AB₁∩BM=P，AC₁∩CM=Q．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求多面体PQCBB₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PQ∥平面BCC₁B₁，只需推知PQ∥BC；
（Ⅱ）由已知条件推知PQ⊥平面ABB₁A₁．所以多面体PQCBB₁C₁的体积可以利用分割法进行解答：V=${V}_{Q-BC{C}_{1}{B}_{1}}$+${V}_{Q-PB{B}_{1}}$或V=${V}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}$-V_A-BCQP=${V}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}$-（V_M-ABC-V_Q-AMP）．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{MP}{PB}$=$\frac{AM}{B{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{MQ}{QC}$=$\frac{AM}{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴PQ∥BC，
∴PQ∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）∵A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴A₁A⊥BC．
又∵AB⊥BC，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
又PQ∥BC，
∴PQ⊥平面ABB₁A₁．
法一：由（Ⅰ）知PQ=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{4}{3}$，点Q到平面BCC₁B₁的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
V=${V}_{Q-BC{C}_{1}{B}_{1}}$+${V}_{Q-PB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$×12×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{28\sqrt{3}}{9}$；
法二：V=${V}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}$-V_A-BCQP=${V}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}$-（V_M-ABC-V_Q-AMP）=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×12-$\frac{1}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{28\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定．考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．