题目内容

函数 $数学公式$ 的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，且 $数学公式$ ．
（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负数的数列{a_n}前n项和为S_n，满足 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

（1）解：∵函数 $\text{[math]}$ 的定义域为{x|x≠1}，图象过原点
∴a=0，b=c
∵ $\text{[math]}$ ，b=2n，n∈N^*，∴b=2
∴ $\text{[math]}$ （x≠1），∴f $\text{[math]}$
令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
∴函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，2）
（2）证明：由已知可得 $\text{[math]}$ ，当n≥2时， $\text{[math]}$
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n-a_n-1=-1（各项均为负数）
当n=1时， $\text{[math]}$ ，∴a_n=-n…8
于是，待证不等式即为 $\text{[math]}$ ．
为此，我们考虑证明不等式 $\text{[math]}$ …10
令 $\text{[math]}$ ，则t＞1， $\text{[math]}$
再令g（t）=t-1-lnt， $\text{[math]}$ 由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，∴t-1＞lnt
即 $\text{[math]}$ ①…12
令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0，∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0，于是 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ②…14
由①、②可知 $\text{[math]}$
所以， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …16
分析：（1）根据函数 $\text{[math]}$ 的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，可得a=0，b=c，结合 $\text{[math]}$ ，可求函数的解析式，求导函数，可确定函数f（x）的单调减区间；
（2）由已知可得 $\text{[math]}$ ，当n≥2时， $\text{[math]}$ ，两式相减，可求数列的通项，于是，待证不等式即为 $\text{[math]}$ ．为此，我们考虑证明不等式 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数解析式的求解，考查导数知识的运用，考查数列的通项，考查不等式的证明，同时考查学生等价转化问题的能力，属于中档题．