题目内容

已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]单调递增,在区间[1,2)单调递减.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若A(x0,f(x0))在函数f(x)的图象上,求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上;
(Ⅲ)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数b的值;若不存在,试说明理由
分析:(Ⅰ)由f(x)在区间[0,1]单调递增,在区间[1,2)单调递减,得到在x=1处取得极大值即f'(1)=0.从而求解.
(Ⅱ)先求点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标验证即可.
(Ⅲ)函数g(x)=bx2=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,等价于方程x4-4x3+4x2-1=bx2-1恰有3个不等实根,转化为x4-4x3+(4-b)x2=0有三个根求解,要注意0是其中一根则转化为方程x4-4x3+(4-b)x2=0有2个非零且不等的实数根求解.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]单调递增,
在区间[1,2)单调递减,所以x=1时,取得极大值.
所以f'(1)=0.(2分)
因为f'(x)=4x3-12x2+2ax,
所以4-12+2a=0.解得a=4.(4分)
(Ⅱ)因为点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0,f(x0)),
且f(2-x0)=(2-x04-4(2-x03+4(2-x02-1x04-4x03+4x02-1=f(x0).(8分)
所以点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.
(Ⅲ)因为函数g(x)=bx2=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,
等价于方程x4-4x3+4x2-1=bx2-1恰有3个不等实根.
由x4-4x3+4x2-1=bx2-1得x4-4x3+(4-b)x2=0.
因为x=0是其中一个根,
所以方程x4-4x3+(4-b)x2=0有2个非零且不等的实数根.(12分)
故由
△=16-4(4-b)>0
4-b≠0
得b>0且b≠4.
(14分)
点评:本题主要考查用极值求参数的值,要明确单调性,同时还考查了方程根的问题,一般要转化为函数的最值来解决.
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