题目内容

如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,且中点.

(Ⅰ)求证:平面;    
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得点到平
的距离为?若存在,确定点的位置;
若不存在,请说明理由.
解法一:
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
,又
平面
.                                                   2分
同理,                                               4分
平面.          
5分
(Ⅱ)解:设中点,连结
中点,
可得,从而底面
的垂线,垂足为,连结
由三垂线定理有
为二面角的平面角.                        7分
中,可求得   
.                               9分
∴ 二面角的大小为.               10分
(Ⅲ)解:由中点可知,
要使得点到平面的距离为
即要点到平面的距离为.
的垂线,垂足为,

平面
∴平面平面
平面
为点到平面的距离.

.                                        12分

相似可得

,即
∴在线段上存在点,且中点,使得点到平面的距离为
14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系,                6分

.         
为平面的一个法向量,


 

.               8分
是平面的一个法向量,
9分
设二面角的大小为

∴ 二面角的大小为.                    10分
(Ⅲ)解:设为平面的一个法向量,


 

.                                         12分

∴点到平面的距离

解得,即 .
∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且中点.14分

试题分析:解法一:
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
,又
平面
.                                                   2分
同理,                                               4分
平面.          
5分
(Ⅱ)解:设中点,连结
中点,
可得,从而底面
的垂线,垂足为,连结
由三垂线定理有
为二面角的平面角.                        7分
中,可求得   
.                               9分
∴ 二面角的大小为.               10分
(Ⅲ)解:由中点可知,
要使得点到平面的距离为
即要点到平面的距离为.
的垂线,垂足为,

平面
∴平面平面
平面
为点到平面的距离.

.                                        12分

相似可得

,即
∴在线段上存在点,且中点,使得点到平面的距离为.14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系,                6分

.         
为平面的一个法向量,


 

.               8分
是平面的一个法向量,
9分
设二面角的大小为

∴ 二面角的大小为.                    10分
(Ⅲ)解:设为平面的一个法向量,


 

.                                         12分

∴点到平面的距离

解得,即 .
∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且中点.14分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,若利用向量则可简化证明过程。本题解法较多,相互比较,可见其优劣。
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