题目内容
如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,且,为中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得点到平
面的距离为?若存在,确定点的位置;
若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得点到平
面的距离为?若存在,确定点的位置;
若不存在,请说明理由.
解法一:
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
∴,又,
∴平面,
∴. 2分
同理, 4分
∴平面.
5分
(Ⅱ)解:设为中点,连结,
又为中点,
可得,从而底面.
过 作的垂线,垂足为,连结.
由三垂线定理有,
∴为二面角的平面角. 7分
在中,可求得
∴. 9分
∴ 二面角的大小为. 10分
(Ⅲ)解:由为中点可知,
要使得点到平面的距离为,
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线,垂足为,
∵平面,
∴平面平面,
∴平面,
即为点到平面的距离.
∴,
∴. 12分
设,
由与相似可得
,
∴,即.
∴在线段上存在点,且为中点,使得点到平面的距离为.
14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系, 6分
则.
设为平面的一个法向量,
则,.
又
令则
得. 8分
又是平面的一个法向量,
9分
设二面角的大小为 ,
则.
∴ 二面角的大小为. 10分
(Ⅲ)解:设为平面的一个法向量,
则,.
又,
令则
得. 12分
又
∴点到平面的距离,
∴,
解得,即 .
∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且为中点.14分
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
∴,又,
∴平面,
∴. 2分
同理, 4分
∴平面.
5分
(Ⅱ)解:设为中点,连结,
又为中点,
可得,从而底面.
过 作的垂线,垂足为,连结.
由三垂线定理有,
∴为二面角的平面角. 7分
在中,可求得
∴. 9分
∴ 二面角的大小为. 10分
(Ⅲ)解:由为中点可知,
要使得点到平面的距离为,
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线,垂足为,
∵平面,
∴平面平面,
∴平面,
即为点到平面的距离.
∴,
∴. 12分
设,
由与相似可得
,
∴,即.
∴在线段上存在点,且为中点,使得点到平面的距离为.
14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系, 6分
则.
设为平面的一个法向量,
则,.
又
令则
得. 8分
又是平面的一个法向量,
9分
设二面角的大小为 ,
则.
∴ 二面角的大小为. 10分
(Ⅲ)解:设为平面的一个法向量,
则,.
又,
令则
得. 12分
又
∴点到平面的距离,
∴,
解得,即 .
∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且为中点.14分
试题分析:解法一:
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
∴,又,
∴平面,
∴. 2分
同理, 4分
∴平面.
5分
(Ⅱ)解:设为中点,连结,
又为中点,
可得,从而底面.
过 作的垂线,垂足为,连结.
由三垂线定理有,
∴为二面角的平面角. 7分
在中,可求得
∴. 9分
∴ 二面角的大小为. 10分
(Ⅲ)解:由为中点可知,
要使得点到平面的距离为,
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线,垂足为,
∵平面,
∴平面平面,
∴平面,
即为点到平面的距离.
∴,
∴. 12分
设,
由与相似可得
,
∴,即.
∴在线段上存在点,且为中点,使得点到平面的距离为.14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系, 6分
则.
设为平面的一个法向量,
则,.
又
令则
得. 8分
又是平面的一个法向量,
9分
设二面角的大小为 ,
则.
∴ 二面角的大小为. 10分
(Ⅲ)解:设为平面的一个法向量,
则,.
又,
令则
得. 12分
又
∴点到平面的距离,
∴,
解得,即 .
∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且为中点.14分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,若利用向量则可简化证明过程。本题解法较多,相互比较,可见其优劣。
练习册系列答案
相关题目