Question

从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F₁，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若过右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A₁，直线A₁B与x轴交于点R（4，0），求椭圆C的方程．

Answer 1

解：（1）令x=-c，得，所以点P的坐标为（-c，），（2分）
由得到：，（4分）
所以b=c，a²=2c²，即离心率（6分）
（2）设直线l的方程为：x=my+c，（m≠0），与椭圆方程，
联立得到：（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．（8分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，（9分）
由A关于x轴的对称点为A₁，得A₁（x₁，-y₁），
则直线A₁B的方程是：，过点R（4，0）得到：
y₁（my₂-my₁）=4（y₂+y₁）-（my₁+c）（y₂+y₁）（10分）
即：2my₁y₂=（4-c）（y₁+y₂）
所以：，
得到：c=4-c，所以：c=2（12分）
所以所求椭圆方程为：．（13分）
分析：（1）令x=-c，得，所以点P的坐标为（-c，），由得到离心率．
（2）设直线l的方程为：x=my+c，（m≠0），与椭圆方程，联立得到（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由韦达定理结合题设条件能够求出所求椭圆方程．
点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意椭圆性质的灵活运用．