题目内容

在锐角三角形中，边a、b是方程x²-2 $数学公式$ x+2=0的两根，角A、B满足2sin（A+B）-=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

解：由2sin（A+B）- $\text{[math]}$ =0，得sin（A+B）= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，C=60°．（4分）
又∵a、b是方程x²-2 $\text{[math]}$ x+2=0的两根，∴a+b=2 $\text{[math]}$ ，a•b=2，（6分）
∴c²=a²+b²-2a•bcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c= $\text{[math]}$ ，（10分）
S_△ABC= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：由2sin（A+B）- $\text{[math]}$ =0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c²，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．
点评：此题综合考查了韦达定理、余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键．