题目内容

(2010•武汉模拟)给定项数为m(m∈N*,m≥3)的数列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…m).若存在一个正整数k(2≤k≤m-1),若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称数列{an}是“k阶可重复数列”.例如数列{an}:0,1,1,0,1,1,0.因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等,所以数列{an}是“4阶可重复数列”.假设数列{an}不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且a4=1,数列{an}的最后一项am=
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分析:利用反证法证明a4=am=1.假设如果a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am不能按次序对应相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等.考虑ai-1,aj-1和am-4,其中必有两个相同,这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列{an}是“5阶可重复数列”,这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾得证.
解答:解:由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1,则存在i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3,ai+4与am-3,am-2,am-1,am,0按次序对应相等,或aj,aj+1,aj+2,aj+3,aj+4与am-3,am-2,am-1,am,1按次序对应相等,
如果a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am不能按次序对应相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等.
此时考虑ai-1,aj-1和am-4,其中必有两个相同,这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列{an}是“5阶可重复数列”,这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾;
所以a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等,
从而am=a4=1.
故答案为1
点评:本题以数列为载体,考查新定义,考查学生理解数列概念,灵活运用数列表示的能力.
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