题目内容
抛物线C的方程为y=ax2(a＜0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线AB上一点M,满足
,证明线段PM的中点在y轴上;
(3)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.
(1)解:抛物线C的标准方程x2=y,
∴焦点坐标为(0,
),准线方程为y=-
.
(2)证明:设PA:y-y0=k1(x-x0),PB:y-y0=k2(x-x0),点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组
的解,消元后化为
ax2-k1x+k1x0-y0=0,于是x1+x0=
,x1=
-x0, ①
同理,x2=
-x0, ②
由已知k2=-λk1,则x2=-
k1-x0.
设M(xm,ym),由
,则
xm=
,把①②代入得xm=-x0,
即xM+x0=0,
∴线段PM中点在y轴上.
(3)解:∵P(1,-1)在抛物线y=ax2上,
∴a=-1,得抛物线y=-x2.
由(2)的①式得x1=-k1-1.代入抛物线方程y=-x2得y1=-(k1+1)2,
将λ=1代入(2)的②式得x2=k1-1.
同理得y2=-(k1-1)2,
∴A(-k1-1,-(k1+1)2),B(k1-1,-(k1-1)2).
∴
=(2k1,4k1),
=(k1+2,k12+2k1).
∴
·
=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).
∵∠PAB为钝角,
∴
·
＜0,
即k1(k1+2)(2k1+1)＜0.
∴k1＜-2或-
＜k1＜0.
又点A的纵坐标y1=-(k1+1)2,
当k1＜-2时,y1＜-1,
当-
＜k1＜0时,-1＜y1＜-
.
总之,点A的纵坐标的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,-
).
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