题目内容

已知点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象上的两点，若对于任意实数x₁，x₂，当x₁+x₂=0时，以P，Q为切点分别作函数f（x）的图象的切线，则两切线必平行，并且当x=1时函数f（x）取得极小值1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若M（t，g（t））是函数g（x）=f（x）+3x-3（1≤x≤6）的图象上的一点，过M作函数g（x）图象的切线，切线与x轴和直线x=6分别交于A，B两点，直线x=6与x轴交于C点，求△ABC的面积的最大值．

解：（1）由题意：f'（x）=3x²+2ax+b
且f'（-x）=f'（x）恒成立知a=0①
又由 $\text{[math]}$
由①②③得：a=0，b=-3，c=3，f（x）=x³-3x+3…（5分）
（2）g（x）=f（x）+3x-3=x³（1≤x≤6）
g（x）在M处的切线方程是：y-t³=3t²（x-t），
即y=3t²x-2t³（1≤t≤6）
令x=6可得：B（6，18t²-2t³），C（6，0）．
△ABC的面积S= $\text{[math]}$ （6- $\text{[math]}$ t）（18t²-2t³）= $\text{[math]}$ t⁴-12t³+54t²，
S′= $\text{[math]}$ t³-36t²+108t= $\text{[math]}$ t（2t-9）（t-9），
令S′=0可得：t= $\text{[math]}$ ，t-=0（舍），t=9（舍），
∴S在[1， $\text{[math]}$ ]上为增函数，[ $\text{[math]}$ ，6]上为减函数，
∴△ABC的面积的最大值为S（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先由题意：f'（x）=3x²+2ax+b，根据f'（-x）=f'（x）恒成立知a=0，又由是题意得 $\text{[math]}$ ，结合由①②③得a，b，c．从而写出函数f（x）的解析式；
（2）由（1）得：g（x）=f（x）+3x-3=x³（1≤x≤6）利用导数几何求得g（x）在M处的切线方程，从而表示出△ABC的面积的函数解析式，利用导数研究其单调性，从而求得其最大值即可得出△ABC的面积的最大值．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数在某点取得极值的条件、函数的解析式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．