题目内容
已知椭圆C：
(
)经过
与
两点.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足
．求证：
为定值．
（Ⅰ）
（Ⅱ）①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为
（
），
则直线OM的方程为
，设
，
，由
解得
，
，∴
，同理
，所以
，为定值
． 13分
解析试题分析：（Ⅰ）将与代入椭圆C的方程，
得
解得
，
．
∴椭圆的方程为． 6分
（Ⅱ）由，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为（），
则直线OM的方程为，设，，
由解得，，
∴，同理，
所以
，
故为定值． 13分
考点：椭圆方程及直线与椭圆的位置关系
点评：求椭圆方程采用的待定系数法，第二问中要证明式子结果是定值首先需求出点
坐标，结合已知条件可知这三点坐标教容易求出，因此只需联立方程求解即可
练习册系列答案
相关题目
分别是椭圆：
的左、右焦点，过
倾斜角为
的直线
与该椭圆相交于P，
两点，且
.
满足
，求该椭圆的方程.
：
过点
，上、下焦点分别为
、
，
．直线
与椭圆交于
两点，线段
中点为
．
，若曲线
与区域
的最小值．
的焦点为
，点
是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，
．
是抛物线上的两点，
的角平分线与
轴垂直，求直线AB的斜率；
过点
，求弦
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，其左、右焦点分别为
、
，短轴长为
，点
在椭圆
的周长为6．
的直线与椭圆相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M使
恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在请说明理由．
．
，且
成等差数列，求椭圆
的方程；
相交于
两点，求
的取值范围．
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
上的点P对应的参数为
，Q为
上的动点，求PQ的中点M到直线
的距离的最小值
、
分别为椭圆
：
的上、下焦点，其中
： 
的焦点，点
是
。
（1，3）和圆
：
，过点
与圆
，在线段
取一点
，满足：
，
（
且
）。
的离心率为
，右准线方程为
。
与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆
上，求实数m的值。