Question

(理科)已知函数f(x)＝e^x－kx，x∈R．

(Ⅰ)若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若k＞0，且对于任意x∈R，f(|x|)＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由k＝e得f(x)＝ex－ex，所以(x)＝ex－e． 　　由(x)＞0得x＞1， 　　故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)；4分 　　由(x)＜0得x＜1， 　　故f(x)的单调递减区间是(－∞，1)．6分 　　(Ⅱ)由f(|－x|)＝f(|x|)可知f(|x|)是偶函数．于是f(|x|)＞0对任意x∈R成立等价于f(x)＞0对任意x≥0成立．由(x)＝ex－k＝0得x＝lnk． 　　①当k∈(0，1时，(x)＝ex－k＞1－k≥0(x＞0)．此时f(x)在[0，＋∞上单调递增．故f(x)≥f(0)＝1＞0，符合题意．所以0＜k≤1；10分②当k∈(1，＋∞)时，lnk＞0．当x变化时(x)，f(x)的变化情况如下： 　　由此可得，在[0，＋∞上，f(x)≥f(lnk)＝k－klnk． 　　依题意，k－klnk＞0．又k＞1，所以1＜k＜e． 　　综合①②实数k的取值范围为(0，e)．14分