Question

（理科）已知函数f（x）=xlnx．
（1）若存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围；
（2）设0＜a＜b，证明：f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=xlnx代入不等式2f（x）≥-x²+ax-3，将不等式变形为a≤

2f(x)+x2+3

x

=2lnx+x+

3

x

，令g(x)=2lnx+x+

3

x

，将存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，转化为a≤g（x）_max，求出g′（x），利用导数求出函数g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值，从而可以求得实数a的取值范围；
（2）求出f′（x），令F(x)=f(a)+f(x)-2f(

a+x

2

)，求出F′（x），利用函数的单调性求出当x=a时，F（x）的最小值0，再根据b＞a，即可确定F（b）＞F（a），从而证得f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

解答：解：（1）∵函数f（x）=xlnx，
∴2f（x）≥-x²+ax-3可变形为a≤

2f(x)+x2+3

x

=2lnx+x+

3

x

，
∴存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，即a≤g（x）_max，
令g(x)=2lnx+x+

3

x

，
∴g′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x-1)(x+3)

x2

，
∴当x∈(

1

e

，1)时，g'（x）＜0，当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，
∴g（x）在[

1

e

，1)上单调递减，g（x）在（1，e]上单调递增，
∴g（x）的最大值只能在x=

1

e

或x=e处取得，
∵g(

1

e

)=3e+

1

e

-2，g(e)=e+2+

1

e

，
∴g(

1

e

)＞g(e)，
∴g(x)max=3e+

1

e

-2，
∴a≤3e+

1

e

-2；
（2）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F(x)=f(a)+f(x)-2f(

a+x

2

)，
∴F′(x)=f′(x)-f′(

a+x

2

)=lnx-ln

a+x

2

，
当0＜x＜a时，F'（x）＜0，当a＜x时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，a）上为减函数，F（x）在（a，+∞）上为增函数，
∴当x=a时，F（x）_min=F（a）=0，
∵b＞a，
∴F（b）＞F（a），
∴f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．还考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于难题．