Question

函数f（x）=x³+ax²+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是

1. A.
   [-，]
2. B.
   （-∞，-3）
3. C.
   （-∞，-3][-，+∞）
4. D.
   [-3，]

Answer 1

C
分析：求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．
解答：求导数可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上为单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．
令f′（x）=0，即x²+2ax+5=0，则a=
设g（x）=，则g′（x）=
令g′（x）=0得：x=或x=-（舍去）
∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，
∵g（1）=-3 g（3）=-，g（）=-
∴g（x）的最大值为g（）=-，最小值为g（1）=-3
∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=-3
当f′（x）≥0时，a≥g（x）≥g（）=-
∴a≤-3或a≥-
故选C．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，分离参数，求函数的最值是关键．