题目内容

12.体积为V的正方体,过不相邻四顶点连成一个正四面体,则该正四面体的体积是(  )
A.$\frac{V}{2}$B.$\frac{V}{3}$C.$\frac{V}{4}$D.$\frac{V}{5}$

分析 如图所示,设正方体的棱长为a,则${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{正方体ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$-$4{V}_{三棱锥{A}_{1}-ABD}$,即可得出.

解答 解:如图所示,设正方体的棱长为a,
则${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{正方体ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$-$4{V}_{三棱锥{A}_{1}-ABD}$
=${a}^{3}-4×\frac{1}{3}a×\frac{1}{2}{a}^{2}$
=$\frac{1}{3}{a}^{3}$
=$\frac{V}{3}$.

点评 本题考查了正方体与三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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