题目内容

在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“?”.定义如下:对于任意两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R,i为虚数单位),“z1?z2”当且仅当“a1>a2”或“a1=a2且b1>b2”.
下面命题:
①1?i?0;
②若z1?z2,z2?z3,则z1?z3
③若z1?z2,则对于任意z∈C,z1+z?z2+z;
④对于复数z?0,若z1?z2,则z•z1?z•z2
其中真命题是
 
.(写出所有真命题的序号)
分析:利用复数的新定义大小关系即可得出.
解答:解:①.∵1=1+0•i,i=0+1•i,∵实部1>0,∴1?i.
又0=0+0•i,∵实部0=0,虚部1>0,∴i?0,∴1?i?0,所以①正确.
②设zk=ak+bki,k=1,2,3,ak,bk∈R.∵z1?z2,z2?z3,∴a1≥a2,a2≥a3,∴a1≥a3
则当a1>a3时,可得z1?z3;当a1=a3时,有b1>b2>b3,可得z1?z3,∴②正确;
③令z=a+bi(a,b∈R),∵z1?z2,∴a1≥a2,∴a1+a≥a2+a,
当a1=a2时,b1>b2,故a1+a=a2+a,b1+b>b2+b,可得z1+z?z2+z;
当a1>a2时,a1+a>a2+a,可得z1+z?z2+z;∴③正确;
④取z=0+i>0,z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,(ak,bk∈R,k=1,2),
不妨令a1=a2,b1>b2,则z1?z2,此时z•z1=-b1+a1i,z•z2=-b2+a2i,不满足z•z1?z•z2.故④不正确.
由以上可知:只有①②③正确.
故答案为:①②③.
点评:本题考查了对复数的新定义大小关系的理解和应用,属于难题.
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