题目内容
在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1?z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．
下面命题：
①1?i?0；
②若z1?z2，z2?z3，则z1?z3；
③若z1?z2，则对于任意z∈C，z1+z?z2+z；
④对于复数z?0，若z1?z2，则z•z1?z•z2．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
下面命题：
①1?i?0；
②若z1?z2，z2?z3，则z1?z3；
③若z1?z2，则对于任意z∈C，z1+z?z2+z；
④对于复数z?0，若z1?z2，则z•z1?z•z2．
其中真命题是
分析：利用复数的新定义大小关系即可得出．
解答：解：①．∵1=1+0•i，i=0+1•i，∵实部1＞0，∴1?i．
又0=0+0•i，∵实部0=0，虚部1＞0，∴i?0，∴1?i?0，所以①正确．
②设zk=ak+bki，k=1，2，3，ak，bk∈R．∵z1?z2，z2?z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．
则当a1＞a3时，可得z1?z3；当a1=a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1?z3，∴②正确；
③令z=a+bi（a，b∈R），∵z1?z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，
当a1=a2时，b1＞b2，故a1+a=a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z?z2+z；
当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z?z2+z；∴③正确；
④取z=0+i＞0，z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（ak，bk∈R，k=1，2），
不妨令a1=a2，b1＞b2，则z1?z2，此时z•z1=-b1+a1i，z•z2=-b2+a2i，不满足z•z1?z•z2．故④不正确．
由以上可知：只有①②③正确．
故答案为：①②③．
又0=0+0•i，∵实部0=0，虚部1＞0，∴i?0，∴1?i?0，所以①正确．
②设zk=ak+bki，k=1，2，3，ak，bk∈R．∵z1?z2，z2?z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．
则当a1＞a3时，可得z1?z3；当a1=a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1?z3，∴②正确；
③令z=a+bi（a，b∈R），∵z1?z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，
当a1=a2时，b1＞b2，故a1+a=a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z?z2+z；
当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z?z2+z；∴③正确；
④取z=0+i＞0，z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（ak，bk∈R，k=1，2），
不妨令a1=a2，b1＞b2，则z1?z2，此时z•z1=-b1+a1i，z•z2=-b2+a2i，不满足z•z1?z•z2．故④不正确．
由以上可知：只有①②③正确．
故答案为：①②③．
点评：本题考查了对复数的新定义大小关系的理解和应用，属于难题．
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