题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ 是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．

解：（Ⅰ）由f（x）= $\text{[math]}$ 是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 c=0，即 $\text{[math]}$ ．
又f（1）=2，∴ $\text{[math]}$ ．
又 f（2）＜3，可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则 $\text{[math]}$ （舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， $\text{[math]}$ ，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x₁＜x₂≤-1，则：f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0， $\text{[math]}$ ，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，求得 c=0，即 $\text{[math]}$ ．再由f（1）=2、f（2）＜3，a∈N，求得a，b，的值，从而得到a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， $\text{[math]}$ ，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．设x₁＜x₂≤-1，则由f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ ＜0，从而得到 f（x）
在（-∞，-1]上单调递增．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．