题目内容
11.已知△ABC的外心为O,重心为G,且2|AB|+|AC|=6,则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的取值范围是[$\frac{6}{5},6$).分析 由题意画出图形,求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|•\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$,$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$,再由重心的性质把$\overrightarrow{AG}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示,展开$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$,结合2|AB|+|AC|=6化为关于|$\overrightarrow{AB}$|的二次函数,则答案可求.
解答 解:如图,过点O分别作OF⊥AB于F,OH⊥AC于H,则F、H分别是AB、AC的中点,
可得Rt△AFO中,cos∠OAF=$\frac{|\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}$,
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|•\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$,
同理可得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$,
∵G为△ABC的重心,∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AO}•\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO})$=$\frac{1}{6}(|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2})$,
∵2|AB|+|AC|=6,∴0<$|\overrightarrow{AB}|<3$,且|$\overrightarrow{AC}$|=6-2|$\overrightarrow{AB}$|,
则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{6}(|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+36-24|\overrightarrow{AB}|+4|\overrightarrow{AB}{|}^{2})$=$\frac{1}{6}(5|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-24|\overrightarrow{AB}|+36)$.
∵0<$|\overrightarrow{AB}|<3$,
∴当|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{12}{5}$时,$(\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AG})_{min}=\frac{24}{5}$;当|$\overrightarrow{AB}$|→0时,$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AG}$→6.
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的取值范围是[$\frac{6}{5},6$).
故答案为:[$\frac{6}{5},6$).
点评 本题考查平面向量的数量积运算,着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外心、重心等知识,考查数学转化思想方法,训练了二次函数最值的求法,属于中档题.
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$ | D. | $-\frac{2}{3}$或$-\frac{3}{2}$ |
A. | 80 | B. | 100 | C. | 120 | D. | 140 |
A. | {x|x≥-3} | B. | {x|x≥1} | C. | {x|-3≤x≤1} | D. | {x|x≥1或x≤-3} |
A. | $\sqrt{17}$ | B. | $\sqrt{61}$ | C. | $\sqrt{41}$ | D. | $\sqrt{37}$ |