Question

已知函数f（x）=xlnmx（m＞0），g（x）=-x²+2ax-3，且f（x）在x=e处的切线方程为2x-y-e=0，
①求m的值．
②若y=a•f（x），y=g（x）在区间[1，3]上的单调性相同，求实数a的取值范围．
③求证：对任意的x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

．

Answer 1

分析：对函数求导f′（x）=lnmx+1，结合导数的几何意义可知切线斜率为k=lnem+1=2 可求m
②先求函数f（x）的单调区间，然后对a分类讨论：a＞0 时，a＜0，求函数y=af（x）在[1，3]上的单调性，结合二次函性质可求a的范围
③要证明x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

，令h(x)=

x

ex

-

2

e

，只要证f(x)≥-

1

e

≥

x

ex

-

2

e

即可

解答：①解：f′（x）=lnmx+1，所以切线斜率为k=lnem+1=2 （1分）
所以m=1 （2分）
②解：若a＞0 则当x∈[1，3]，f′（x）＞0，
∴f（x）单调递增，（3分）
故g（x） 在[1，3]上单调递增，从而对称轴x=a≥3，综合有a≥3 （4分）
若a＜0，则当x∈[1，3]，f′（x）＜0，
∴f（x）单调递减，故g（x） 在[1，3]上单调递减，从而对称轴x=a≤1
综合有：a＜0（6分）
若a=0，f（x） 不是单调函数，不符合题意．
综上所述：a 的取值范围是a≥3 或者a＜0 （7分）
③（i）当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，函数单调递增，
（ii ）当x∈(

1

e

，+∞)，f′（x）＞0，函数单调递增
所以当x=

1

e

时，f（x） 取最小值-

1

e

，（9分）
令h(x)=

x

ex

-

2

e

，则h/(x)=

1-x

ex

所以当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减
则当x=1 时，h（x） 取最大值-

1

e

，（11分）
因此f(x)≥-

1

e

≥

x

ex

-

2

e

，但等号不能同时成立．
故f(x)＞

x

ex

-

2

e

（13分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，导数在判断函数的单调区间、极值、最值中的应用，及利用导数的最值与不等式证明中的应用．