Question

（2004•宁波模拟）（理）已知点M（x，y）是曲线C₁：3x³-4xy+24=0上的动点，与M对应的点P(

x

2

，

y

3

)的轨迹是曲线C₂．
（1）求曲线C₂的方程，并表示为y=f（x）的形式；
（2）判断并证明函数y=f（x）在区间(

1

3 2

，+∞)上的单调性．

Answer 1

分析：（1）设P（m，n）是曲线C₂上的任意一点，利用条件求出M的坐标，利用已知的方程可求出关于m，n的方程，从而求出曲线C₂的方程；
（2）利用单调性的定义，取点，作差，变形，定号，下结论，从而可判断并证明函数的单调性．

解答：解：（1）设P（m，n）是曲线C₂上的任意一点，则
∵P(

x

2

，

y

3

)
∴m=

x

2

，n=

y

3

∴x=2m，y=3n
∴M（2m，3n）在曲线C₁上…（3分）
∴3（2m）³-4（2m）（3n）+24=0，则曲线C₂的方程为m³-mn+1=0
即x³-xy+1=0
所以y=f(x)=x2+

1

x

…（6分）
（2）解：函数y=f（x）在区间(

1

3 2

，+∞)上是增函数
证明：任取x1，x2∈(

1

3 2

，+∞)，x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

+

1

x1

)-(

x

2 2

+

1

x2

)=(x1-x2)(x1+x2-

1

x1x2

)…（9分）
∵

1

3 2

＜x1＜x2，
∴x1+x2＞

2

3 2

=

3	4

，x1x2＞(

1

3 2

)2=

1

3 4

＞0
∴

1

x1x2

＜

3	4

，
∴(x1+x2-

1

x1x2

)＞0，
又x₁-x₂＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-

1

x1x2

)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函数y=f（x）在区间(

1

3 2

，+∞)上是增函数…（12分）

点评：本题以曲线方程为载体，考查代入法求轨迹方程，考查函数的单调性，证明时，利用取点，作差，变形，定号，下结论是关键．